Bộ ba số Pytago

Một bộ ba số Pytago là ba số nguyên dương a, b, và c, sao cho a2 + b2 = c2. Nói cách khác, bộ ba số Pytago biểu diện độ dài của các cạnh của một tam giác vuông mà cả ba độ dài này là những số nguyên dương.[1] Các chứng cứ từ những điểm khảo cổ ở miền bắc châu Âu cho thấy người cổ đại đã biết đến những bộ ba này trước điểm có những văn tự ghi chép lại. Các bộ ba này thường được viết là (a, b, c). Một số bộ hay gặp là (3, 4, 5) và (5, 12, 13).

Một bộ ba số Pytago gọi là bộ ba số Pytago nguyên thủy khi các số a, b và c nguyên tố cùng nhau (hay ước số chung lớn nhất của a, b và c bằng 1).

Dưới đây liệt kê các bộ ba số Pytago nguyên thủy nhỏ hơn 100 (16 bộ số):

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

Dựng đoạn thẳng vô ước

Đường xoắn ốc Theodorus là chuỗi cách dựng các đường thẳng mà độ dài là căn bậc hai của một số nguyên dương.

Một trong các hệ quả của định lý Pytago đó là cho phép dựng được các đoạn thẳng vô ước (incommensurable) (tỉ số của chúng không phải là một số hữu tỉ) bằng thước kẻ và compa. Định lý cho phép dựng các đoạn thẳng vô ước bởi vì cạnh huyền của tam giác vuông liên hệ với hai cạnh kề thông qua phép lấy căn bậc hai.

Hình bên phải cho thấy cách dựng những đoạn thẳng mà độ dài bằng căn bậc hai của một số nguyên dương bất kỳ.[35] Mỗi tam giác có một cạnh (đánh dấu là "1") được chọn sao cho có độ dài bằng một đơn vị. Trong mỗi tam giác vuông, định lý Pytago cho phép liên hệ cạnh huyền với độ dài đơn vị của cạnh kề này. Nếu một cạnh huyền bằng căn bậc hai của một số nguyên dương không chính phương, nghĩa là nó có độ dài vô ước với chiều dài đơn vị, như √2, √3, √5 . Chi tiết, xem số vô tỉ bậc hai (quadratic irrational number).

Độ dài vô ước mâu thuẫn với khái niệm của trường phái Pythagoras về các số như là những số hoàn thiện. Trường phái này xét đến các tỷ số của các số nguyên với một đơn vị chung.[36] Theo như một truyền thuyết, nhà triết học Hippasus của Metapontum (ca. 470 B.C.) đã bị ném xuống biển do biết đến sự tồn tại của số vô tỉ hay đoạn thẳng vô ước.[37][38]

Số phức

Trị tuyệt đối của số phức z (hay mô-đun của số phức) là khoảng cách r từ z đến gốc tọa độ.

Với một số phức bất kỳ

z = x + i y , {\displaystyle z=x+iy,}

thì giá trị tuyệt đối hay mô-đun của nó cho bởi

r = | z | = x 2 + y 2 . {\displaystyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}

Do đó ba đại lượng, r, x và y có liên hệ với nhau bởi phương trình Pytago,

r 2 = x 2 + y 2 . {\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}.}

Chú ý rằng r được xác định là số thực dương hay bằng 0 nhưng x và y có thể nhận giá trị dương hoặc âm tùy ý. Về mặt hình học r là khoảng cách từ z đến điểm O hoặc gốc tọa độ trong mặt phẳng phức.

Dựa vào định nghĩa trên có thể tính được khoảng cách giữa hai điểm, ví dụ z1 và z2. Khoảng cách cho bởi

| z 1 − z 2 | = ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 , {\displaystyle |z_{1}-z_{2}|={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}},}

và đây cũng chính là dạng phương trình Pytago,

| z 1 − z 2 | 2 = ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 . {\displaystyle |z_{1}-z_{2}|^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}.}

Khoảng cách Euclid trong các hệ tọa độ khác nhau

Công thức tính khoảng cách trong hệ tọa độ Descartes được suy ra từ định lý Pytago.[39] Nếu (x1, y1) và (x2, y2) là tọa độ của hai điểm trên mặt phẳng, thì khoảng cách giữa chúng là, hay còn gọi là khoảng cách Euclid:

( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 . {\displaystyle {\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}.}

Tổng quát hơn, trong không gian Euclid n chiều, khoảng cách Euclid giữa hai điểm, A = ( a 1 , a 2 , … , a n ) {\displaystyle A\,=\,(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})} và B = ( b 1 , b 2 , … , b n ) {\displaystyle B\,=\,(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})} , được xác định bằng cách tổng quát hóa định lý Pytago:

( a 1 − b 1 ) 2 + ( a 2 − b 2 ) 2 + ⋯ + ( a n − b n ) 2 = ∑ i = 1 n ( a i − b i ) 2 . {\displaystyle {\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.}

Nếu không sử dụng hệ tọa độ Descartes, ví dụ, mà sử dụng hệ tọa độ cực cho không gian hai chiều hoặc tổng quát hơn, nếu sử dụng hệ tọa độ cong, công thức biểu diễn khoảng cách Euclid sẽ phức tạp hơn so với phương trình Pytago, nhưng có thể sử dụng định lý này để tìm ra công thức tính khoảng cách. Ví dụ cụ thể, khoảng cách theo đường thẳng nối giữa hai điểm được tính trong hệ tọa độ cong có thể thấy trong ứng dụng của đa thức Legendre trong vật lý. Công thức khoảng cách được suy ra từ định lý Pytago kết hợp với phương trình liên hệ trong phép biến đổi tọa độ từ hệ tọa độ cong sang hệ tọa độ Descartes. Ví dụ, tọa độ cong (r, θ) có liên hệ với tọa độ Descartes là:

x = r cos ⁡ θ ,   y = r sin ⁡ θ . {\displaystyle x=r\cos \theta ,\ y=r\sin \theta .}

Và hai điểm với tọa độ (r1, θ1) và (r2, θ2) cách nhau bằng khoảng cách s:

s 2 = ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 = ( r 1 cos ⁡ θ 1 − r 2 cos ⁡ θ 2 ) 2 + ( r 1 sin ⁡ θ 1 − r 2 sin ⁡ θ 2 ) 2 . {\displaystyle s^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}=(r_{1}\cos \theta _{1}-r_{2}\cos \theta _{2})^{2}+(r_{1}\sin \theta _{1}-r_{2}\sin \theta _{2})^{2}.}

Thực hiện khai triển bình phương và kết hợp các số hạng lại, công thức Pytago cho khoảng cách trong hệ tọa độ Descartes chuyển thành công thức khoảng cách trong hệ tọa độ cực là:

s 2 = r 1 2 + r 2 2 − 2 r 1 r 2 ( cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2 + sin ⁡ θ 1 sin ⁡ θ 2 ) = r 1 2 + r 2 2 − 2 r 1 r 2 cos ⁡ ( θ 1 − θ 2 ) = r 1 2 + r 2 2 − 2 r 1 r 2 cos ⁡ Δ θ , {\displaystyle {\begin{aligned}s^{2}&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\left(\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}\right)\\&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\\&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos \Delta \theta ,\end{aligned}}}

sử dụng đẳng thức lượng giác biến đổi tích thành tổng. Công thức này là định lý cos, mà đôi khi được gọi là công thức tổng quát hóa của định lý Pytago.[40] Từ kết quả này, trong trường hợp hai bán kính ở hai vị trí làm thành một góc vuông, hay Δθ = π/2, lúc này thu được một dạng tương tự của công thức Pytago: s 2 = r 1 2 + r 2 2 . {\displaystyle s^{2}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}.} Do đó, định lý Pytago cho tam giác vuông trở thành một trường hợp đặc biệt của định lý cos, mà đúng cho tam giác bất kỳ.

Đẳng thức lượng giác Pytago

Tam giác đồng dạng bên phải chỉ ra sin và cos của góc θ.

Trong tam giác vuông với hai cạnh kề a, b và cạnh huyền c, lượng giác xác định sin và cos của góc θ giữa cạnh a và cạnh huyền như sau:

sin ⁡ θ = b c , cos ⁡ θ = a c . {\displaystyle \sin \theta ={\frac {b}{c}},\quad \cos \theta ={\frac {a}{c}}.}

Từ đây rút ra:

cos 2 θ + sin 2 θ = a 2 + b 2 c 2 = 1 , {\displaystyle {\cos }^{2}\theta +{\sin }^{2}\theta ={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}=1,}

với bước cuối cùng áp dụng định lý Pythagoras. Liên hệ giữa sin và cos đôi lúc được gọi là đồng nhất thức lượng giác Pytago cơ bản.[41] Ở các tam giác đồng dạng, tỉ số các cạnh là như nhau bất kể kích thước của tam giác là như thế nào, và tỉ số chỉ phụ thuộc vào góc giữa chúng. Hệ quả là, trong hình, tam giác với cạnh huyền bằng độ dài đơn vị có độ dài hai cạnh kề là sin θ và cos θ theo đơn vị của cạnh huyền.

Liên hệ với tích vectơ

Diện tích của hình bình hành xác định bằng tích trực tiếp; các vectơ a và b xác định mặt phẳng và a × b là vectơ trực chuẩn của mặt phẳng này.

Định lý Pythagoras liên hệ tích vectơ (hay tích trực tiếp) và tích vô hướng theo cách tương tự:[42]

‖ a × b ‖ 2 + ( a ⋅ b ) 2 = ‖ a ‖ 2 ‖ b ‖ 2 . {\displaystyle \|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}=\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}.}

Kết quả này có thể thấy từ định nghĩa của tích trực tiếp và tích vô hướng

a × b = a b n sin ⁡ θ a ⋅ b = a b cos ⁡ θ , {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} &=ab\mathbf {n} \sin {\theta }\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=ab\cos {\theta },\end{aligned}}}

với n là vectơ trực chuẩn đơn vị của cả a và b. Mối liên hệ tuân theo các định nghĩa này và từ đồng nhất thức lượng giác Pythagoras.

Liên hệ trên cũng có thể sử dụng để định nghĩa tích trực tiếp. Bằng cách sắp xếp lại thu được phương trình

‖ a × b ‖ 2 = ‖ a ‖ 2 ‖ b ‖ 2 − ( a ⋅ b ) 2 . {\displaystyle \|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}=\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}.}

Phương trình này có thể coi như là điều kiện xác định cho tích trực tiếp, cũng như cho phần định nghĩa của nó, ví dụ như trong không gian bảy chiều.[43][44]